Субботний блиц-мат-марафон: А теперь правильные отгадки!

Мат-блиц-марафон закончен! Всем, кто променял субботние летние шашлыки и другие развлечения на мат-блиц-марафонные задачки – все молодцы, всем большое спасибо за участие! - и, конечно, будут объявлены победители нашего мат-забега. Но для начала – правильные решения. Ну, по крайней мере такие решения, которые мне лично кажутся правильными. На этот счёт могут быть разные мнения, кто же сомневался. Здесь же задачки блиц-турнира и ответы на них публикую в своей версии =>

=== 1 === 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.

Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:

p = 1 или 2 (mod 3)

То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)

dem9

Collapse )

Субботний мат-блиц-марафон. Финиш! ... и десерт :)

Ура! Блиц-мат-марафон завершён! Всем большое спасибо за участие, зрителям за поддержку наших спортсменов, сидящим рядом с вами на карантине и самоизоляции семьям, детям, кошкам-мышкам и прочим животным – тоже спасибо за соучастие в процессе! ...даже если ни соучастия, ни процесса не было :) Всё равно вроде бы неплохо получилось. Весело и задорно! И головным извилинам полезно иногда потренироваться немного.

Чтобы побыстрее подсчитать ваши спортивные результаты и объявить чемпионов – большая просьба всем участникам самостоятельно сложить свои баллы и результат положить сюда в комментарии. Все ваши решения в предыдущих постах-задачках уже должны быть открыты.

И вот ещё что. Если кому-то понравилось и нет сил остановиться, то вот ещё задачка. Вне конкурса. Этакий «десерт на сладкое».

===>

Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ – 1

<===

Всё на этом! Считайте свои баллы, завтра объявлю победителей. И покажу правильные решения :)

dem7

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-6 для джедаев арифметики.

И, наконец, шестая часть сегодняшнего мат-забега. Надеюсь, настроение у всех пока ещё боевое? Тогда вот вам, кидаю самую завершающую порцию:

===> 

Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1.

-----

Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 - полные квадраты, найти N.

<===

На этом совсем всё на сегодня! Комментарии будут раскрыты чуть позже, тогда же и результаты подведём. А пока у всех есть время проверить свои решения и поработать над ошибками :)

dem5

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-5 с пятью неизвестными.

Всех доживших до этого уровня – поздравляю с успехами! Наверное, пришло время ещё задачек подкинуть. Цитирую классика: «Пивная! Ещё парочку!» =>

===>

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

-----

Задачка 5-лёгкая.

Однажды администрация ЖЖ забанила двух блогеров. Им сказали, что вообще удалят их аккаунты нафиг, если не произойдёт вот что => Каждый день оба блогера должны бросать монету (каждый свою). Затем каждый из них должен угадать, орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает - аккаунты сохраняются ещё на один день. Если оба не угадали - всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились.

Ну, вопрос такой: как долго они протянут? Администрация ЖЖ злая, но незлопамятная :) Когда-то она простит блогеров и вернёт их из бана. Если ли у них шанс дотянуть до этого светлого дня?

<===

dem6

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-4, которая только выглядит просто.

Жизнь должна быть прекрасной и удивительной! Прекрасна она по определению, поскольку за окном тёплый (а где-то наверняка и ярко-солнечный) летний денёчек, а удивительной её делает четвёртая порция задачек нашего субботнего мат-блиц-марафона. Вот таких:

===>

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

-----

Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если:
x + 2ˣ = y + 2ʸ
то =>
x + sin(x) = y + sin(y)

<===

dem4

Добавлю, что вновь присоединившиеся могут порешать также и предыдущие сегодняшние задачки. Там ещё есть возможность поучаствовать в призах, поскольку некоторые решения в скрытых комментариях частично или полностью неправильные.

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-3, в которой появляется игрек... и не только он.

Вроде повеселей дело пошло, ловите третью часть сегодняшнего мат-развлечения! Надеюсь, что вам пока всё нравится.

===>

Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ

-----

Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,...,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?

Например, из {1,2,3,13} можно сложить палиндром 13231. Сколько таких перевёртышей можно сделать из 1,...,19?

<===

dem3

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-2 с факториалом.

Итак, с первой задачкой вроде бы разобрались, а кто решил правильно - те большие молодцы! :) Как и обещал, есть и второй эшелон задачек. Наверное, чуть посложнее первого. Ловите =>

===>

Задачка 2. Решить в натуральных числах и без тупого перебора:   x² + 19x - x! = 0

-----

Задачка 2-лёгкая. Есть набор цифр {1, 3, 4, 6}. Используя четыре арифметических действия +-*/ (сложить, вычесть, умножить, разделить) и скобки получить 24.

Каждую цифру использовать обязательно и только один раз. Объединять цифры в число нельзя (типа ‘13’ и ‘346’ запрещается). Арифметических действий, соответственно, может быть только три (но они могут повторяться). Скобок ставить можно сколько угодно. Например,

3*6 + 4 + 1 = 23.
(6+1)*3 + 4 = 25.

А нужно получить 24.

// в качестве дополнительной тренировки: попробуйте получить все числа от нуля до... а до скольки получится?

<===

Что-то много времени ушло на решение первой порции, посмотрим сколько уйдёт на вторую часть.

dem2

Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-1 про три квадрата.

Всем привет!

...и доброго субботнего утра (или уже дня), дорогие мальчики и девочки. Всем желаю хорошего настроения и ласковой летней погоды за окном! И (как было обещано после дождичка в четверг) – у меня заготовлено пять сложных и тоже пять лёгких задачек, посему начинаю субботний блиц-мат-пятитлон! Но если повезёт решить всё быстро и оперативно, то есть и шестая задачка – и будет аж шеститлон. Посему: экономьте силы!

Напоминаю условия:

✔️ ответ на задачки давать как можно быстрее, по времени публикации будут определяться чемпионские места;
✔️ потом обязательно(!) туда же прицепить решение (доказательство) задачки;
✔️ возможны правки, они будут засчитываться по времени исправления;
✔️ за сложные задачки первый решивший получает 5 баллов, второй – 3, третий – 2, все остальные по 1 баллу; первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу;
✔️ ответы скринятся до конца соревнования.

Победители получат незабываемые и крайне полезные подарки для хозяйства, общего развития и борьбы с телефонным мошенничеством и спамом.

А теперь – начало блиц-марафона! Три-два-один -> начали!

1. dem1

Сначала совсем несложная разминка. Вот такая:

===> 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

-----

Задачка 1-лёгкая. Однажды один умный ЖЖ-блогер написал в своём блоге три буквы четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6...» - и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?

<=== 

Всё на этом для начала. Как только в комментариях будет несколько правильных решений, тут же публикую вторую задачку.

Collapse )

Топ-100 (черновик-2020). Африка, часть 2. Экваториальное и южнее.

Число природных красот, разной уникальной и замечательной живности, а также прочих африканских необычностей оказалось так много, что пришлось разделить афро-список на две части. Традиционно Африку делят на Северную (плюс Сахара) и "Чёрную Африку" (она же "Sub-Sahara Africa"). Здесь же деление происходит примерно по экватору: в первой части списка находятся все те природные жемчужины и волшебности, которые севернее экватора, а во второй (здесь) – всё экваториальное и южнее него. Итак, поехали ->

Kongou Falls. Водопады Конгу.

Трёхкилометровый каскад живописных водопадов в восточной части Габона. И хотя по высоте водопады не самые выдающиеся (максимальная высота 56 метров), по зрелищности, говорят, совершенно восхитительные и вполне достойны места в списке Топ-100. Местечко находится в национальном парке Ивиндо, что, как бы, намекает на осмотр прочих природных достопримечательностей. Не был.

kongou1

kongou2
Источник

info_ru_20 wiki_en wiki_ru map_ru_20 gmaps foto_ru_20 google flickr


Collapse )

Мат-планы на субботу и Округляем к меньшему.

Всем привет!

Вот какая возникла идея: а не провести ли нам субботний блиц-турнир по решению арифметических задачек? Вроде тех, что я уже здесь накидывал для всеобщего удовольствия. Но теперь мы это сделаем интереснее и азартнее. За решение задачек будут начисляться очки, а по результату турнира победителям будут отправлены очень ценные и полезные в хозяйстве, на компьютере и умнофонах призы.

Нравится идея? Мне – да :)

Итак, правила игры следующие.

У меня будет заготовлено несколько задачек... например, пять штук. Задачки будут средней сложности, не слишком головоломные. Публиковать я их начну по одной штуке в субботу в 9 утра по московскому времени ВНИМАНИЕ! Важный UPD: по просьбам трудящихся решено было перенести на попозже. Решили начать блиц-тур в 11 по Москве. Как только в комментариях (само собой, скрытых для чужих глаз) появится несколько правильных решений – сразу буду публиковать следущую задачку.

Ах да! Чтобы всем остальным домашним тоже было весело и нескучно – там же рядом будет простенькая задачка. Если же у вас дома есть школьники младших классов или совсем ещё дошкольники, которым эти мозговые тренировки пока не по силам, то придумайте им увлекательные задачки самостоятельно – чтобы вообще всем было интересно.

Баллы за правильные решения будут засчитываться следующим образом: за сложные задачки первый, решивший получает 5 баллов, второй – 3 балла, третий – 2 балла, все остальные по 1 баллу. Первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.

Кто первый и кто далее? По времени публикации ответа на задачку. То есть, сначала можно дать просто правильный ответ без доказательства решения. Само собой, если комментарий редактируется, то за время публикации считается время редактирования коммента. И – внимание! – затем обязательно нужно привести само решение. Каким именно образом получены окончательные числа (или какой другой результат)? Без доказательства ответы засчитываться не будут!

То есть, если задачка звучит: «2x2=?»,  то первый коммент, по которому засчитывается время, может быть просто «4». Но следом обязательно должно быть обоснование, например: «2x2 = 2+2 = 4, да и в таблице умножения так написано».

Если вы ошиблись и передумали – можно отправить правильное решение после неправильного. Время ответа будет засчитано по правильному решению. А вот ваше неправильное решение после правильного обнулит оба :)

Ну что, потрём извилины в тёплый июньский субботний денёк? :)

Вот ещё что – призы!

Само собой, они должны быть запоминающимися. За первое место - моднявые кигуруми Мидори Кума. Две штуки. И ещё набор моих книжек о путешествиях с личным автографом :) За второе место - один кигуруми и набор книжек. Третье место - набор книжек! А ещё у нас в запасе много защиты от спамеров для умнофонов Who Calls, так что никто из правильно ответивших не уйдёт с пустыми руками.

8603469_original

Ну что, согласны? Попробуем? Ну, тогда до встречи в субботу в 9:00 11:00 MSK! Не пропустите время начала блиц-мат-марафона и публикацию следующих задачек вслед за уже решёнными.

Но это ещё не всё! Ведь есть и очередная сегодняшняя задачка, а также ответы на предыдущие!

Сегодня задачка вот такая:

===>

[??] - округление к меньшему. Найти ‘x’:

[x] + [2x] + [3x] + ... + [2020x] = 2020

А теперь попробуйте найти ‘x’ в новых условиях:

[x] + [2x] + [3x] + ... + [2021x] = 2021

<===

Как обычно ответы скрываются до 20:00 MSK.

А теперь – ответы на предыдущие задачки. Напоминаю условия:

Collapse )