Майская арифметика.

Previous Entry Поделиться Пожаловаться Next Entry
31 мая, 12:03
e_kaspersky
Всем привет!

Предыдущие задачки оказались немного заковыристыми, местами требующими средне-сложных вычислений в экселе на питоне на листке бумаги, но вроде как за пределы общеобразовательных школьных знаний они не выползали. Кто не пропускал занятий по математике в средней школе – все в теории должны уметь решать такие головоломки :) Но сейчас не буду никого грузить высшей арифметикой, сегодня будет простенькое, но со вкусом. Причём надо что-то на тему последних майских выходных и "скоро лето". Ага, вот -> про блогера, который решил попить пива :)

Задачка 1. Однажды некий блогер [втихаря затарился пивом в местном лабазе] налил себе в кружку литр пива. В этом литре пива 99% веса собственно пива и 1% пены. Но блогер отвлёкся и начал бложить какой-то пост. Пока он бложил, пива в кружке осталось 98% от общего веса. Сколько всего пива с пеной осталось в кружке?

Задачка 2. Расстроившись из-за предыдущей задачки блогер вспомнил, что есть два числа, у которых совпадает сумма, произведение и частное. Но никому этих чисел не сказал и… [ушёл в лабаз за апгрейдом пива, причём без пропуска и разрешения]. Пока он туда и обратно - успеем отгадать?

Если успели, то вот ещё одна задачка:

Задачка 3. Есть два несовпадающих друг с другом числа, которые в десятичной записи состоят из одной и той же цифры (оба числа) и у которых сумма совпадает с произведением. Что это за числа?

На всякий случай поясняю: в этих числах встречается только одна единственная цифра, например, '9...999'. Цифра в обоих числах одна и та же! Пары "333" и "555" быть не может.

original

Как мы уже привыкли – комментарии с ответами скрываются до 20:00 по московскому времени.

А теперь давайте таки вернёмся к дважды упомянутой выше "предыдущей задачке", вызвавшей в комментариях громкий скрежет извилин и преждевременную реакцию отторжения возможности существования решения. Решение есть! Мне известно аж 22 решения, но наверняка их больше. Кстати, это задачка для самых смышлёных: найти все такие числа :)

Ещё раз напоминаю, что задачка эта с приколом. Надо выйти из зоны комфорта! Тем более, что в одном комментарии уже была сделана робкая попытка в правильном направлении. В общем, попробуйте ещё! Не буду мешать креативно-мыслительному процессу публикацией решения.

Метки:
Previous Entry Поделиться Пожаловаться Next Entry
Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Напитки.
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

1. Я так полагаю, что пиво продолжило пениться и часть пива перешла в пену. Излишки пены начали выливаться наружу. Объём пива с пеной как был литр, так и остался. Предположив, что плотность пены во много раз меньше плотности пива, можно сказать, что в кружке масса пива с пеной уменьшилась чуть меньше, чем вполовину. Если же плотность пены не меньше плотности пива, то при пеннии объём не увеличится, и общая масса меняться не будет.
То есть масса смеси уменьшится в от одного до двух раз. Скорее всего в 1.96 раза.

Edited at 2020-05-31 17:09 (UTC)

1. Не очень понимаю, что там физически происходит. Видимо, потому что пиво почти не пью :) Ведь пена -- это по сути то же пиво и при отстаивании она непосредственно в пиво переходит. Если блогер сидел очень долго и вся пена отстоялась, то осталось только пиво и все 98% от исходного веса -- это оно. Но, судя по вопросу, имеется в виду не это.

Допустим, пиво и пена испаряются с одинаковой скоростью. Пива осталось 98/99 от его (пива) первоначального веса. Значит и пены останется 98/99 от ее веса. Ну и суммарно останется 98/99 от первоначального веса.

2. Просто решаем систему уравнений x+y=xy, xy=x/y. Получаем 1/2 и -1.

3. 1.1 и 11. Решение не строгое: из x+y=xy получила уравнение гиперболы, построила график с асимптотами х=1, y=1, по которому видно, что цифра = "1". А дальше "нетрудно заметить", что пара (1.1 ; 11) подходит.

А можно эту гиперболу с асимптотами картинкой показать? И как там пара с единицами получается тоже.

Картинка не очень красивая, но какая уж есть. Смотрим верхнюю ветку. Поскольку график симметричен относительно у=х, то достаточно рассмотреть только ту его часть, что ниже у=х (выделено зелёным). Видно, что целая часть "у" там всегда 1. => Цифра 1. Дальше планировала просто перебирать у=1.1; у=1.11; у=1.111 и т.д. Но первый же вариант подошёл. (Сама точка за границами графика. Симметричная ей есть на той части графика, что выше х=у)


О, согласен. Весьма элегантное решение.
Осталась мелочь: показать, что других решений нет.

Сначала докажем, что других решений нет на выделенной части гиперболы. Поскольку целая часть "у" равна 1, то "y" может быть 1.1, 1.11, 1.111 и т.д. Пара (y = 1.1, х = 11) -- решение. Все остальные потенциально возможные значения "у" строго больше 1.1 и не больше 10/9=1.(1); Значит, т.к. функция убывающая, все соответствующие им "х" принадлежат [10, 11). Их целая часть "10", что не может быть записано с помощью одной цифры 1.
Для части гиперболы, симметричной выделенной относительно x=y, рассуждения аналогичны.

Теперь рассмотрим часть нижней ветви гиперболы ниже y=x. Для всех этих точек целая часть "х" равна 0, а дробная -- ненулевая (точка (0,0) принадлежит гиперболе, но не подходит по условию задачи). Значит, все эти числа не могут быть записаны с помощью одной цифры. Для симметричной относительно y=x части этой ветви рассуждения аналогичны.

Но это все в предположении, что для записи нецелых чисел используются десятичные дроби.

Если разрешить смешанные дроби, то появится еще бесконечно много решений вида ("+" тут для отделения целой части от дробной):
1 + 11/111 и 11 + 1/11
1 + 111/1111 и 11 + 1/111
1 + 1111/11111 и 11 + 1/1111
...
1 + (10^(k-1) + ... + 10^0)/(10^k + ... + 10^0) и 11 + 1 / (10^(k-1) + ... + 10^0) (k>=2)

Поздравляем :) за ваше элегантное решение вам положен приз.
А чтобы получить его, напишите на почту sp@kaspersky.com
Удачи с новыми задачками)

Спасибо, получила)

Edited at 2020-06-05 08:10 (UTC)

1) 1/2 литра
2) 1/2 и - 1
3) ну, раз дроби считаем за "нормальные" десятичные числа, то годится пара 1111/11 и 11,11/11

Не-не, здесь без дробей можно обойтись. И, желательно, с доказательством.

3) почему только один вариант решения?

Ну ещё вроде бы допускается опускание нулевой целой части. Тогда
.1 и -.(1)

Edited at 2020-05-31 18:02 (UTC)

?

Log in

No account? Create an account