Nota Bene

Что-то тут не то:

1. Всего цифр у нас 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2. Нечётных цифр существует только 5, поэтому из 8 цифр минимум 3 придётся взять чётными. Чтобы число делилось на чётный делитель, оно тоже должно быть чётным.
3. Цифра 0 отпадает, потому что на 0 делить нельзя
4. Цифра 5 тоже отпадает, потому что, чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Ноль мы уже исключили, а 5 она быть не может, потому что число должно быть чётным.
5. Итого, доступных цифр осталось ровно 8: 1 2 3 4 6 7 8 9
6. Сумма этих цифр равна 40, и она не делится ни на 3, ни на 9. А это, между прочим, признок делимости всего числа на 3 и 9. То есть, составить из этих цифр удовлетворяющее условию число нельзя.

Задача с подколом, говорите? Придумал! Нужно взять 8 единиц и покрасить их в разные цвета. Тогда все 8 единиц можно будет различить, и они станут различными.

Можно, конечно, попытаться намухлевать с цифрами. Чтобы признак делимости на 9 выполнялся, нужно либо уменьшить сумму цифр на 4 единицы, либо увеличить на 5. Переворачиванием 6, 2 или 9 цели не добиться. Испохабив 4 до 7, или 7 до 1 — тоже. Спрятав тройку за восьмёркой, шестёрку за девяткой, или доработкой напильником 8 до 3 — тоже. Единственное, что вроде бы работает — разогнуть 2, превратив в 7. Тогда при построении числа мы читаём её как цифру 7, а при проверки делимости — как двойку. Хотя это не важно: 7 уже и так есть, а делимость на 2 обеспечена делимостью на 8.

Из цифр 1 3 4 6 7 7 8 9 можно составить следующие двузначные числа, делящиеся на 4:

48, 64, 16, 96 -- делятся на 8. Третья с конца цифра должна быть чётной
84, 68, 36, 76 -- не делятся на 8. Третья с конца цифра должна быть нечётной.

Дальше осталась переставить цифры так, чтобы результат делился на 7.

1000 = 143 * 7 - 1. Это значит, что 5-значный префикс и 3-значный суффикс должны давать комплементарные остатки от деления на 7.

Переберём все имеющиеся варианты суффиксов, посчитаем остаток от деления на 7:

648: 4
864: 3
816: 4
416: 3
496: 6
184: 2
384: 6
784: 0
984: 4
168: 0
368: 4
768: 5
968: 2
136: 3
336: 0
736: 1
936: 5
176: 1
376: 5
776: 6
976: 3

В общем, дальше мне надоело, но, думаю, для многих из этих вариантов можно сложить оставшиеся цифры так, чтобы получить комплементарный остаток.

Нехитрая программка выдаёт 251 результат:

#include 
#include 
int main()
{
	int digits[8] = {1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 9};
	do 
	{
		long x = 0;
		for (int i = 0; i < 8; ++i)
			x = x * 10 + digits[i];
		if (x % (7*8*9) == 0)
			std::cout << x << std::endl;
	}
	while (std::next_permutation(digits + 0, digits + 8));
	return 0;
}

Edited at 2020-05-30 14:54 (UTC)

Логика правильная, сделанный вывод - нет.
Решение (несколько) существует.

Edited at 2020-05-31 09:51 (UTC)

0 исключаем. Число должно быть четным, поэтому цифру 5 тоже исключаем.
Остаются цифры 1,2,3,4,6,7,8,9, которые в сумме дают 40, которое не делится на 9. Значит, любые комбинации из этих цифр не будут делиться на 9. Решения нет.
Может, так: N=1*2*3*4*5*6*7*8 ?



Edited at 2020-05-29 10:25 (UTC)

Можно чистым рассуждением без многодневного перебора. На ноль не делим, никак нельзя. Остаётся 9 цифр. В конце должна быть чётная по принципу Дирихле:), поэтому и пятёрку отбрасываем. И вот тут считаем сумму цифр — 40. На три не делится. Поэтому из цифр 12346789 любое число на 3 не делится. Никак нельзя составить такое число.
Остаётся найти подвох. Переворачивать 6 или 9 или даже 2 бесполезно. Можно составить степень.
То есть составить из некоторых этих цифр маленькое число, чтобы оно делилось на 2, 3, 7 и возвести его в степень , составленную из остальных цифр. Самое маленькое такое число — 126. Тогда получим 126^34789. Его можно записать без ^. Oно делится на любую из составляющих его цифр. Меняя степень, получим ещё 119 штук. А ведь можно и башенку из степеней состроить. Можно взять 168^, 294^ или ещё много. Но допустим ли этот способ?

Edited at 2020-05-29 11:30 (UTC)