Евгений Касперский (e_kaspersky) wrote,
Евгений Касперский
e_kaspersky

Category:

Впихнуть невпихуемое.

Ага, новый день приносит нам новые загадочные задачки. Что у нас там на сегодня в стеке? Ооооо! Это совершенно волшебный случай, после которого можно брать паузу на публикацию новых задачек на неделю, а то и на две. Это гига-мега-супер интересная (и практически полезная) задачка из геометрии двумерных пространств. Ловите ->

Есть Г-образный коридор – рукава коридора сходятся под углом 90 градусов. Ширина коридора = 1. Какой максимальной площади диван сейф можно переместить из одного рукава в другой? Сейф имеет произвольную форму, поворачивать на бок нельзя.

f1

Для примера - квадратный сейф площадью 1 (1х1) перемещается в 2 движения - до упора по горизонтали, до упора по вертикали.

f2

Сейф не обязательно квадратный, он любой формы. Попробуем, например, полукруг. Тащим его до упора, поворачиваем на 90 градусов, тащим дальше. Получается π/2 = 1,57. Ого! В полтора+ раза больше квадрата...

f3

Кто сколько сумеет протащить максимально? У меня (при помощи добровольных волонтёров) получилось больше 2. Как? Дерзайте!

Ещё раз: интересует только плоская площадь. Какой он по вертикали - неважно, поворачивать на бок и катить сейф нельзя.

А вот решение предыдущей геометрической задачки.

Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер?

Для затравки начнём с куба.

e1

Пусть сумма всех рёбер будет L.
Сумма площадей поверхностей = S.
Объём полученного изделия пусть = V.

Итого, нам нужно найти или опровергнуть следующее:

L = S = V

В чём будем мерить? Да без разницы. Пусть длина ребра = 1.

Сколько у него рёбер? Двенадцать. Их длина, очевидно, равна их количеству. То есть, L=12.
Площадь поверхности тоже равна их количеству. S=6.
Объём этого куба равен = 1x1x1 = 1=V.

Увы, простейший куб не подходит под решение задачки. Нам нужно чтобы L=S=V, а тут 12,6,1.

Не прокатило, нужно думать далее... А давайте сплющим куб и растянем его немного! Пусть это будет плитка-параллелепипед типа такого:

e2

Что получается для такой фигуры? Длины её граней равны: a,b,c=b.

Длины всех рёбер равны: 8 "длинных" (если по картинке) b и четыре "коротких" a ->

L = 4a + 8b

Сумма площадей поверхностей равна = две большие b*b и четыре a*b ->

S = 4*a*b + 2*b2

// Вот, кому-то пришла пора вспоминать 8-10й классы средней школы и двойки по математике...

А какой объём этой волшебной хрени? Умножаем a на b и на c=b. Что получается?

V = ab2

Итого, если L=S=V, то ->

4a + 8b = 4*a*b + 2*b2 = a*b2

Отсюда два равенства:

1) 4a + 8b = ab2 => a*(b2 - 4) = 8b => a = 8b / (b2 - 4)
2) 4ab + 2b
2 = ab2 => a = 2b2 / (b2 - 4b) => a = 2b / (b - 4)

То бишь,

8b / (b2 - 4) = 2b / (b - 4)

Сокращаем на 2b, переносим право-налево...

4*(b - 4) = b2 - 4 => b2 - 4b + 12 = 0 => (b - 2)2 = -8

То есть, квадрат числа равен "минус восьми", что в множестве действительных чисел как-то пока неразрешимо. То есть, "плитка-паррелепипед" не подходит никак и никоим образом. Фигура должна быть другой.

Удачных упражнений с выпуклыми многогранниками!

Решение. Да, такие фигуры существуют. Например, это «призма-карандаш» с 17-рёберный правильным многоугольником в основании, где длина каждого ребра = 0.9469310516, а длина вертикальных рёбер = 9.5072700451. Этакий "карандаш", высота которого в 10 раз больше длины боковых рёбер.

Подробнее вот здесь.

А кто лучше всех справился с этой "многогранной" задачкой? Вот он, герой! - Vladislav Nikolaev. Поздравляю!



Tags: math
Subscribe

Posts from This Journal “math” Tag

  • Майская арифметика.

    Всем привет! Предыдущие задачки оказались немного заковыристыми, местами требующими средне-сложных вычислений в экселе на питоне на листке бумаги,…

  • Решабельная задачка с приколом.

    Доброго дня, вечера или любого другого времени суток, дорогие мои интернет-"слушатели". Сегодняшняя задачка звучит просто, но она с приколом. Вот –…

  • Задачка про 11.

    Всем привет! Как вам прошлые задачки? Нормально мозг вскипел? Или же поленились? :) Неважно. Теперь после весьма непростых задачек – возьмём…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 26 comments