Интересная история про 21 стопку монет и точные весы.

Previous Entry Поделиться Next Entry
6 августа, 7:34
e_kaspersky
Всем привет!

Как уже успели заметить постоянные читатели этого блога, здесь периодически попадаются разные умственно-математические задачки, требующие расширенных арифметическо-логических знаний, умений, а также развёрнутого подхода выбора наиболее оптимальных и правильных решений.

Иногда попадаются просто шедевры, например, задачка про закраску 2018 лепестков на большой ромашке, про подпрыги мячей или же ежегодное соревнование на новогоднюю арифметику.

Так вот, только что мне попалась в меня бросили и точно попали ещё одной задачкой. На этот раз нумизматической.

Звучит задачка вот так:

----->

Как-то раз читатели этого блога путешествовали по Европам и решили собрать коллекцию 1-евро-монет из разных стран Еврозоны. Собирали-собирали, да и набрали по 5 ровно евромонет из 21 страны. То есть, по пять монет номиналом 1 евро из 21й страны. Но однажды выяснилось, что из какой-то одной страны собрали пять фальшивых монет, которые отличаются по весу от остальных. Причём отличаются менее чем на 8 грамм.

То есть, есть по пять монет из двадцати одной евро-страны, 21 кучка по пять одноевровых монет в каждой кучке. Но одна кучка = фальшивая. То есть, все монеты коллекции, за исключением монет этой страны, весят одинаково — некоторое целое число граммов. Монеты этой же загадочной страны тоже весят одинаково, но имеют другую массу, отличную от остальных честных монет.

Требуется узнать три ответа на три вопроса:

1) какая именно страна выпускает отличающиеся по весу монеты;
2) сколько весит монета этой страны;
3) сколько весит монета из остальных стран.

Для этого у нас есть очень точные весы, которые позволяют верно узнать суммарную массу помещённых на них монет, даже если взвешено сразу много монет. Но вот беда... батарейка у весов садится, зарядки нет, всего мощности осталось только на два взвешивания.

Как решить эту задачку всего двумя взвешиваниями?

// Внимание! Весы не "больше-меньше" (как в таких обычных задачках), а именно "сколько весит в граммах".

<-----

Честно говоря, эту задачку я решил пока только наполовину, не в точных условиях. Получится ли решить её в общем случае? Непонятно...

Для разгона предлагаю посмотреть на эти самые монеты. Но поскольку у меня с собой нет наличных евро, то вот фотка 2х-долларовых гонгконгских монет:

DSC_8167

Почему и зачем у меня с собой совершенно случайно оказалась стопка 2х-долларовых монет из Гонконга - это отдельная история, которая будет чуть позже :)

// Всем тихоокеанские приветы с суровых просторов где-то к востоку от Лопатки и Шумшу!

DJI_0420

Метки:
Previous Entry Поделиться Next Entry

Записи из этого журнала по тегу «chtogdekogda»


Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категориям: Искусство, Путешествия.
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

Ой . чтобы решить задачку,придется путешествовать назад.. где Вы там побывали ! Читаю Вас с удовольствием! И да. огромное СПАСИБО вашим парням из вашего офиса . на расстоянии помогли избавиться от проблемы.( я уже в бальзаковском возрасте . но действующая!!!) Как в воду посмотрели. сделали все на раз-два !

Edited at 2019-08-06 04:41 (UTC)

"менее чем на 8 грамм" может означать 0.01 грамма разницы.
а мы даже точности весов не знаем.

Весы идеальные и показывают абсолютно правильный вес.

Разделим 21 стопки монет на 3 равные части, по 7 стопок в каждой части. Взвесим сначала 1 часть, пусть её вес будет равен числу A. Затем взвесим 2 оставшиеся части монет, пусть их вес будет равен числу B. Если бы все монеты были одинаковыми, то 2A было бы равно B. Но в нашем случае очевидно, что это не так, поэтому разницу между вторым взвешиванием и удвоенным результатом первого взвешивания следует разделить на 5. Это и будет вес фальшивой монеты. Вес настоящей монеты = (A+B-5*(вес фальшивой монеты))/100

для чего информация про 8 грамм не понял ))
Как определить страну, чьи монеты фальшивые, не знаю ))))


Зы: поторопился... B-2A это либо дельта, либо двойная дельта между весом 5 фальшивых и 5 настоящих монет... соответственно приведённый мною выше ответ неверен

Edited at 2019-08-06 08:27 (UTC)

Нужно достать батарейку из весов и немного ее помять. Это несколько продлит ее службу- можно будет взвесить больше, чем два раза)
Вот так решают задачу люди, которые физику любят гораздо больше математики)))

Неожиданный выход за рамки.
Офигенно.

1) какая именно страна выпускает отличающиеся по весу монеты;

Никакая. Или вопрос некорректен.

2) сколько весит монета этой страны;

Нефальшивая 7.5 грамм.
Фальшивая из этой серии ["стандарт (7.5)" - 6 грамм;0[ ]0;"стандарт (7.5)" + 8 грамм]
("стандарт" https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD_%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%BE)

3) сколько весит монета из остальных стран.

7.5 грамм.

А что имел в виду автор задачи - увы мне.


PS

К вопросу 1 - Китай (сувенирка) (-:
https://yandex.ru/search/?text=%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%BE%20%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%82%D1%8B&lr=51

Edited at 2019-08-06 11:07 (UTC)

Да, я задачку тоже решил через 7.5 граммов честного веса. Но в условии сказано "целое количество грамм" - то есть, это некие "условные евромонеты", которые весят целое число.

Тут ещё закладка в округлении: 7.5 у математиков 7, у наших бухгалтеров 8.

Edited at 2019-08-07 04:48 (UTC)

А почему это у математиков 7,5 → 7?
Примерно в 5 классе изучают "общее правило округления": 0-4 → в меньшую сторону, 5-9 → в большую.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Округление

Наверное потому, что каждый препод на первой лекции выдаёт примерно следующее "пользоваться литературой из списка ... . За пользование литературой авторства ... будет ...". (-:

Примерно та же ситуация сейчас на радио Маяк во вставках "Училка против Маяка". Режет слух, но человек на всю планету клянётся что права именно она.
В своё время никто за мкад'ом не мог объяснить почему на наклейках в автобусах писалось "запАсный выход", а у героя Марка Бернеса бронепоезд стоял "на запАсном пути".

PS Кстати, статью по Вашей ссылке писал или крепко правил явно практиковавший программист со своими профессиональными прогибами. Упомянул вскользь о системах счисления и потерял ветку (.

Edited at 2019-08-07 10:09 (UTC)

PPS
К вопросу 2 с учётом уточнений.
Упрощаем постановку задачи: принимаем что условное евро весит 8 грамм,
фальшак весит целое количество грамм.
Тогда разница в весе наборов ближайшее целое число меньше 8, т.е. 7.
Набор условных евро одной страны весит 8х5=40 грамм.
Тогда вес одной фальшивки - целое число из диапазона

[33;47]:5

т.е. 7 или 9 грамм.

К вопросу 1: Нужную группу определяем 2 взвешиваниями через изменение подмножеств как предлагалось другими участниками.

Edited at 2019-08-08 07:23 (UTC)

Поскольку монет пять, вес каждой монеты выражается целым числом граммов, а пять фальшивых легче пяти настоящих менее чем на 8 граммов, то разность в весе между монетами - 1 грамм.
Остальное решение пока не пишу. Скажу лишь, что для 26 стран батарейка должна быть в полтора раза мощнее.

Написал здоровенный комментарий и случайно закрыл вкладку браузера :(

В общем, ответ (без обоснования, лень писать по второму разу) такой:

- выписываем табличку:

Первое взвешивание
0 1 2 3 4 5
Второе взвешивание 0 Страна 1
1 Страна 2 Страна 3 Страна 4 Страна 5 Страна 6 Страна 7
2 Страна 8 Страна 9 Страна 10
3 Страна 11 Страна 12 Страна 13 Страна 14
4 Страна 15 Страна 16 Страна 17
5 Страна 18 Страна 19 Страна 20 Страна 21


(пустые клетки тут не от балды, но повторюсь, лень писать).

Дальше при первом взвешивании берем одну монету страны 1, не берем монеты страны 2, берем одну монету страны 3, две монеты страны 4 и так далее - всего 55 монет. При втором взвешивании - не берем монеты страны 1, берем по одной монете 2, 3, 4, 5, 6, 7 стран и так далее - тоже 55 монет.

Обозначим массу настоящей монеты за x, разницу между массой настоящей и фальшивой монеты - за y. Пусть при первом взвешивании весы показали M1, при втором - M2. Тогда если предположить, что фальшивые монеты делает страна 1, можно записать систему из двух уравнений:

55x+y = M1
55x = M2

Для страны 2 такая же система уравнений будет иметь вид

55x = M1
55x+y = M2

для третьей:

55x+y = M1 = M2 (в этом случае весы при двух взвешиваниях должны показать одно и то же, этот случай рассмотрим отдельно).

Ну и так далее, до 21 страны:

55x+4d=M1
55x+5d=M2

Всего получится 21 система уравнений. Сразу разберем случай, когда подделки делает 3 страна (только в этом случае при двух взвешиваниях у нас получатся одинаковые результаты) - уравнение 55x+y=M1 будет иметь единственное решение с целым x и y, по модулю меньшим 8 - поэтому получив при двух взвешиваниях одинаковые результаты, сразу говорим "третья страна", решаем уравнение в целых числах и не паримся.

Если же весы показали разные значения - то решаем 21 систему уравнений, решение, где x целое, а y по модулю меньше 8, будет иметь ровно одна из них. Объявляем эту страну бракоделами, а масса настоящей и фальшивой монет будет известна из решения.



действительно!
да, за счет целочисленности веса монет становится возможным из 21 системы уравнений выделить только нужную

Да, вот тоже такая же идея - только через целочисленные значения. Иначе только 3 взвешивания, но может что-то не додумал.

отделяем стопку монет из одной страны
оставшиеся группируем: 4 группы по пять стопок
для первого взвешивания берем из каждой стопки в первой группе по одной монете, во второй группе по две монеты, в третьей по три, в четвертой по четыре
всего 50 монет
итог взвешивания - А
А/50=М',
если М' целое - значит это М - масса оригинальной монеты соответственно фальшивки в отдельной стопке.
Взвешиваем отдельную стопку, делим на пять - получаем М1 - массу отдельной фальшивки. название страны читаем на аверсе))

Если М' дробное - округляем до целого и получаем М, далее:
для второго взвешивания
в первой группе берем, отмечая из какой стопки брали)) последовательно по 2-3-4-5-0 монет, из второй 1-3-4-5-0, из третьей 1-2-4-5-0 и из четвертой 1-2-3-5-0
всего 50 монет
итог взвешивания В

А=46М+Х, т.к А и М это числа - вычисляем Х
В=45М+У, т.к А и М это числа - вычисляем У

далее решаем систему уравнений где M1=(X-M*x)/(4-x) при 4>=x>=0 и M1=(Y-M*y)/(5-y) при 5>=y>=0

в итого - две матрицы одна для х, вторая для y, в которых совпадающие значения - искомое М1, страна определяется по значению х-группа и y-стопка в группе, название читаем на аверсе

P.S. х и у естественно целые числа

Edited at 2019-08-06 13:52 (UTC)

little_bes,
вы написали

Если М' дробное - округляем до целого и получаем М...

но...

Для 4 фальшивых монет при взвешивании (в остальных случаях проблем нет), для разницы в 7 грамм (в остальных случаях проблемы нет):

X=1 Y=8 X’=1.56 X=2
X=2 Y=9 X’=2.56 X=3
X=3 Y=10 X’=3.56 X=4
X=4 Y=11 X’=4.56 X=5
X=5 Y=12 X’= 5.56 X=6
X=6 Y=13 X’=6.56 X=7
X=7 Y=14 X’=7.56 X=8
X=8 Y=1 X’=7.44 X=7
X=8 Y=15 X’=8.56 X=9
X=9 Y=2 X’=8.44 X=8
X=9 Y=16 X’=9.56 X=10

и т.д.

т.е. масса настоящей монеты и масса, полученная округлением могут и не совпадать

С отбрасыванием дробной части тоже самое – возникают проблемы, только уже для всех разниц между монетами и всех групп фальшивых монет (1,2,3,4)

Вот если бы в условии было сказано «фальшивая монета отличается от настоящей менее чем на 7 грамм» все было в порядке бы.



А в остальном нормально.

для первого взвешивания берем из каждой стопки в первой группе по одной монете, во второй группе по две монеты, в третьей по три, в четвертой по четыре
всего 50 монет
итог взвешивания - А
А/50=М',
если М' целое - значит это М - масса оригинальной монеты соответственно фальшивки в отдельной стопке.


Действительно, если таким образом взвесить монеты, то НИ ПРИ КАКИХ весах настоящей и фальшивой монеты не произойдет коллизия, т.е. нацело делиться не будет никогда

Можно записать формулу:

(50 – k) * x + k * (x + d)

где x – масса настоящей монеты, y = x + d – масса фальшивой монеты, d – разница между настоящей и фальшивой монеты, k – кол-во фальшивых монет (т.е. рассматриваются 4 варианта – 1 фальшивая, 2 фальшивые, 3 фальшивые, 4 фальшивые)

Тогда

(50 – k) * x + k * (x + d) = 50x – kx + kx + kd = 50x + kd

Чтобы делилось на 50 без остатка, необходимо, чтобы kd делилось без остатка, но это невозможно, поскольку разница между массами монет менее 8 грамм, а k = 1,2,3,4

Вот если бы разница между монетами была 25 грамм – тогда беда :)


Edited at 2019-08-07 10:16 (UTC)

Строго говоря из условия задачи не следует, что каждая из фальшивых монет отличается на менее чем 8 грамм, более того я бы сказал что в этом случае задача становится про сферическую корову в ваккуме, т.к. Фальшивка вряд ли будет отличаться от оригинала более чем на 10% веса иначе она будет ощущать я при взвешивания одной рукой. А монеты весом в 80 грамм это не про Евросоюз)) это екатерининский медный пятак разве что)) так что считаю, что я логично предполагал что 8 грамм разница в стопке из 5 монет - в этом случае одна монета не отличается более чем на 2 грамма. И в этом случае история с округлением более чем работоспособна. Учитывая именно что взвешивание 50 монет сразу. И кстати опять же (не очень принципиально, но) из личного опыта коллекционирования монет - Фальшивка как правило легче. И да, спасибо, что описали формулой. Я достаточно далёк от чистой математики по роду деятельности - архитектура - и работоспособную табличку в экселе собрал минут за пять, а вот превратить её в корректные формулы и неустыдиться результату скорее не рискнул.

Edited at 2019-08-07 19:22 (UTC)

1. Каждая хорошая монета весит целое число граммов. Пять фальшивых монет отличаются по весу от пяти хороших монет менее чем на 8 грамм. Хотя явно и не сказано, допустим, что фальшивые монеты тоже весят целое число грамм. Это значит, что фальшивая монета либо на грамм легче, либо на грамм тяжелее хорошей.

2. Организуем два взвешивания как показано в двух следующих строках. В каждой строке 21 позиция. i-я позиция в строке соответствует i-й стране. Число в i-й позиции (i=1...21) соответствует числу взвешиваемых монет из i-й страны.
505152535454041424340
051525354550414243440
Заметим, что в каждом взвешивании взвешивается 66 монет.

3. Обозначим вес первого взвешивания как W, а второго как V.
Поделим W (или V, результат будет тот же) на 66 и округлим до ближайшего целого. Это вес хорошей монеты. Обозначим вес хорошей монеты как G.

4. Пусть x = |66G-W| (модуль разности между весом 66 хороших монет и результатом первого взвешивания). Аналогично, y = |66G-V|. Найдем в какой позиции в первом взвешивании было x монет, а во втором - y монет. Эта позиция соответствует стране с фальшивыми монетами. Например, если x=2 и y=5, to i=6.


Edited at 2019-08-08 06:58 (UTC)

Извините за тупые вопросы, но

> 505152535454041424340
> 051525354550414243440

наборы стран 20 и 21 точно отловятся ?

Да, отловятся. В стране 21 x=y=0, а в стране 20 x=y=4. Другими словами, если W равно V и делится без остатка на 66, значит, фальшивых монет в этих взвешиваниях не было, значит, страна 21. А в случае страны 20, W равно V, но не делится на 66 без остатка. По алгоритму получаем пару (x,y)=(4,4) и страну 20.

Edited at 2019-08-08 07:48 (UTC)

В случае "фальшивая=21" мы не узнаем вес фальшивой монеты..

Согласен. Что ж, заменим для страны 21 (0,0) на (3,3).
В остальном решение останется прежним, только еще "66" заменится на "69".

?

Log in

No account? Create an account