Задачка 1. Делится ли 10^2019 + 1 на 10^19 - 1 нацело, то есть без остатка?
Задачка 2. На сетке 2018x2019 отрезали по 1 клеточке в левом верхнем и правом нижнем углах. Можно ли замостить полученный лист доминошками 2x1?
Решили? Теперь тот же вопрос про сетку 2019x2019 и также про 2018x2018.
Задачка 3. Найти все целые решения уравнения: х2 + 2019 = y2
Задачка 4. Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213...201720182019
Задачка 5. Доказать, что уравнение x^2 + (2^2018)*x + 2^2019 = 0 не имеет целых решений.
Задачка 6. Может ли число, сумма всех цифр которого равна 2019, быть квадратом целого числа. Например, 11 в квадрате есть 121, сумма его цифр равна 4. То есть, для числа 4 решение есть. Существует ли оно для 2019?
Задачка 7. На большой доске мелким почерком написано число, равное 8^2019. У этого числа вычисляется сумма цифр, у полученного числа вычисляется опять сумма цифр и т.д. до тех пор пока не получится одна цифра. Что это за цифра?
Задачка 8. Найти без калькулятора (счёты можно) остаток от деления: 2^2019 / 2019
А вот и решения:
Задачка 1. Делится ли 10^2019 + 1 на 10^19 - 1 нацело, то есть без остатка?
10^19 – 1 есть 100...000 – 1 = 999...999 , оно состоит из 18-ти девяток и делится на девять.
10^2019 + 1 является вот таким числом: 100...0001 , сумма всех его цифр равна двум и на девять оно делиться не может (критерий делимости числа на 3 и 9: сумма всех цифр числа должно делиться на 3 или на 9).
То есть, деление нацело невозможно.
Задачка 2. На сетке 2018x2019 отрезали по 1 клеточке в левом верхнем и правом нижнем углах. Можно ли замостить полученный лист доминошками 2x1? Теперь тот же вопрос про сетку 2019x2019 и также про 2018x2018.
2018x2019 решается очевидно. Сначала кладём доминошки на две крайние 2019-полосы, где отрезано по одной клетке, то есть осталось 2018 клеток. Остаётся сетка размером 2018x2016, которую можно замостить в любом направлении параллельными доминошками. Ответ «можно».
2019x2019 ответ «нельзя», поскольку после отрезания остаётся нечётное количество клеток.
2018x2018 чуть сложнее и ответ тоже «нельзя». Доказательство простое. Нужно закрасить все клетки поочерёдно в чёрный и белый цвет, как на шахматной доске. Поскольку каждая доминошка закрывает один чёрный и одну белую клетку, то любое покрытие сетки доминошками закрывает одинаковое количество клеток. Но противоположные клетки на сетке имеют одинаковые цвета, то есть на сетке осталось неодинаковое число чёрных и белых клеток. Ответ: невозможно.
Задачка 3. Найти все целые решения уравнения: х^2 + 2019 = y^2
Решение уравнения сводится к следующему:
2019 = y^2 – x^2 = (y+x) * (y-x)
2019 раскладывается на следующие натуральные (целые положительные) множители:
2019 = 1 * 3 * 673
Отсюда две системы уравнений:
y + x = { 1, 3, 673, 2019 }
y – x = { 2019, 673, 3, 1 }
У которых 2 решения в натуральных числах: { x, y } = { 1009, 1010 }, { 335, 338 }. Поскольку отрицательные значения тоже подходят, то всего получается 8 пар решений.
Задачка 4. Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213...201720182019
Очень просто. Надо подсчитать сумму всех цифр в числе и проверить результат на критерий делимости на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и исходное число тоже делится на девятку. У задачки есть несколько несложных решений. Например, поскольку мы проверяем делимость на 9, то цифры можно складывать группами: у ‘abcd’ результат проверки по ‘a+b+c+d’ будет совпадать с ‘ab+cd’.
abcd = 1000*a + 100*b + 10*c + d = (a+b+c+d) + 999*a + 99*b + 9*c
Девятки сокращаются при делении на 9 – и всё. Таким образом, надо проверить делимость на 9 арифметической прогрессии 1,2,...,2019. Она равна:
2019*(2019+1)/2 = 2019*1010 = 2039190 (или 3*673*2*5*101)
На 9 никак не делится.
Второй вариант решения: разбить исходное очень длинное число на группы по 9:
123456789
101112...18
192021...27
Первая группа делится на 9, поскольку сумма её цифр равна 45. Каждая последующая группа получается из предыдущей прибавлением к каждому элементу группы девятки, то есть, они все тоже делятся на 9. В числе 123...20182019 всего 224 группы. Остаётся группа из трёх последних элементов: 201720182019. Сумма цифр на 9 не делится. Всё.
Задачка 5. Доказать, что уравнение x^2 + (2^2018)*x + 2^2019 = 0 не имеет целых решений.
Исходное уравнение трансформируется следующим образом:
x^2 + (2^2018)*x + 2^2019 = 0 // исходное
x^2 + 2*(2^2017)*x + (2^2017)^2 - (2^2017)^2 + 2^2019 = 0 // преобразуется к форме ‘x^2 + 2*x*a + a^2 = b’
x^2 + 2*(2^2017)*x + (2^2017)^2 = 2^4034 - 2^2019
(x + 2^2017)^2 = 2^2019 * (2^2015 - 1) // что есть ‘(x + a)^2 = b’
Теперь даже невооружённым глазом видно, что никаких целых корней тут быть не может.
Есле же невооружённым не видно, то решение уравнения получается вот такое:
x = √ (2^2019 * (2^2015 - 1)) – 2^2017
Квадратный конень из ‘2^2019 * (2^2015 – 1)’ никак не может быть целым числом, поскольку под корнем двойка в нечётной степени.
Задачка 6. Может ли число, сумма всех цифр которого равна 2019, быть квадратом целого числа. Например, 11 в квадрате есть 121, сумма его цифр равна 4. То есть, для числа 4 решение есть. Существует ли оно для 2019?
Тоже очень просто. Предположим, что есть некое число ‘x^2’ сумма цифр которого равна 2019. Но по критерию делимости на 3 и на 9 получается, что ‘x^2’ делится на 3 и не делится на 9 (поскольку 2019 делится на 3, но не на 9). То есть, в разложении ‘x’ на множители есть тройка, но тогда в разложении ‘x^2’ должна быть девятка. Противоречие. То есть, такого числа не существует.
Кстати, это верно для любой целой степени больше 1. То есть, не существует целых чисел, которые при возведении в степень (квадрат, куб и так далее) дают число, сумма цифр которого равна 2019.
Задачка 7. На доске написано число, равное 8^2019. У этого числа вычисляется сумма цифр, у полученного числа вычисляется опять сумма цифр и т.д. до тех пор пока не получится одна цифра. Что это за цифра?
Эта цифра восемь. Вот почему: любое число записывается как сумма его десятичных разрядов, умноженных на степени десятки. Например, ‘123’ записывается вот так: 1*10^3 + 2*10^2 + 3. Сумма всех цифр числа получается «удалением лишних десяток», то есть:
123 = 1 + 2 + 3 + ( 1*999 + 2*99 )
Но это же просто деление с остатком на 9. То есть, 8^2019 надо разделить с остатком на девятку. Для этого посмотрим на последовательность 8^x по модулю 9:
8^1 = 8 (mod 9)
8^2 = 64 = 1 (mod 9)
8^3 = 8 * 8^2 (mod 9) = 8*1 (mod 9) = 8 (mod 9)
8^4 = 8 * 8^3 (mod 9) = 8*8 (mod 9) = 1 (mod 9)
То есть, 8^x поочерёдно принимает значения 1 и 8. Нечётные – восмёрки. 8^2019 даёт восьмёрку.
Задачка 8. Найти без калькулятора (счёты можно) остаток от деления: 2^2019 / 2019
Здесь сложнее и требуется некоторое количество несложных вычислений.
1) Последовательность 2^x (mod 2019) когда-то зациклится. То есть, найдутся 'a' и 'b' такие, что:
2^a = 2^b (mod 2019).
То есть,
2^b* (2^c - 1) = 0 (mod 2019)
// понятно, что 'a>b' и 'c=a-b'. Они взаимопростые, посему существует
2^c = 1 (mod 2019).
Теперь надо его найти.
2) Чтобы найти эту самую 'це' надо достать счёты, поскольку придётся попотеть арифметически. Поехали, считаем остатки ‘2^x’ при делении на 2019:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 = 2^10 (mod 2019)
- первый десяток даже считать не надо, это нужно помнить наизусть.
29 58 116 232 464 928 1856 1693 1367 715 = 2^20 (mod 2019)
- второй десяток считается тоже не очень сложно, предыдущее надо просто умножить на 2 и вычесть 2019, если оно больше.
1430 841 1681 1345 671 1342 665 1330 641 1282 (2^30)
- тут уже менее приятные числа для вычислений, но тоже ничего этакого.
545 1090 161 322 644 1288 557 1114 209 418 (2^40)
836 1672 1325 631 1262 505 1010 1 (2^48)
- баммм! Вот оно! Длина цикла = 48.
248 = 1 (mod 2019)
Сколько там циклов в 2019 умещается?
2019 = 48*42 + 3
То есть,
22019 = 2(42*48 + 3) = (142) * (23) = 8 (mod 2019)
Всё. Ответ: тоже восемь.
3) Можно и меньшим количеством операций, если не боитесь умножать и делить многозначные числа. Поскольку мы знаем степени двойки наизусть, то можно искать цикл с шагом 10. То есть, считать не все остатки от деления степени двойки на 2019, а 2^20, 2^30, 2^40, 2^50 - каждый раз умножая предыдущий остаток на 1024 и вычисляя остаток от деления на 2019. За 4 умножения и 4 деления наткнёмся на остаток, равный степени двойки. Всё.
---8<---
По результатам математического марафона выходного дня отличились следующие участники:
sir_derryk (первое место, молодца!) и Яна Барсукова (второе место). За прочие подвиги и попытки участия :) - mama_gremlina и olly_ru.Победители награждаются корпоративно-зелёными призами из магазина Labshop, куда, кстати, недавно поступило много нового и прикольного, например вот такие "мидори-кумные" кигуруми и домашние тапочки.
Первое(ые) место(а): толстовка + защита KIS. Поощрительные призы: термосы.