Цифровой 2018 - часть 2.

Previous Entry Поделиться Next Entry
11 декабря, 2017
e_kaspersky
Новая порция математических задачек под постепенно надвигающийся 2018-й.

Вот такая: про ромашку и закрашивание лепестков.

Однажды русские госхакеры решили поздравить друг друга с Новым Годом и нарисовали огромную такую ромашку с 2018 лепестками. Этакая окружность, на которой нарисованы лепестки. Для пущей красоты они решили закрасить лепестки ромашки. А поскольку они всё-таки программисты, то сделали они это необычным способом. Сначала был покрашен некий произвольный лепесток. Затем хакеры отступили от него на один лепесток по часовой стрелке и закрасили и его тоже. Затем отступили в том же направлении на два лепестка от только что покрашенного (то есть, пропустили один лепесток), потом отступили на три, четыре, пять - и так до бесконечности. То есть, на каждом шаге количество пропущенных лепестков увеличивается на один. Если первым был закрашен нулевой лепесток, то следующий будет номер 1, затем +2 = 3, +3 = 6, +4 = 10, +5 = 15 и так далее по кругу и в бесконечном цикле.

Внимание, вопрос1: какое количество лепестков будет в результате закрашено?

Увидев такие дела, американские госхакеры тоже решили нарисовать свою ромашку. Но поскольку бюджеты у них побогаче будут, то и ромашка получилась поразвесистей. И было закрашено в ней по той же схеме ровно 2018 лепестков.

Вопрос2: сколько лепестков было в американской госхакерской ромашке?

Вопрос3: единственное ли это решение? Хотя еврейский Новый Год и отмечается в совершенно другое время, но израильские госхакеры решили не отставать от своих коллег и тоже нарисовали ромашку, у которой тоже закрашивается ровно 2018 лепестков. Но она отличается от американской. Возможно ли такое?

Поскольку предыдущие задачки про 2018 как-то не вызвали энтузиазма у читающей публики, попробую промотивировать ваши извилины ценными призами первым ответившим правильно и с обоснованиями. А призов у нас много и всяких разных.

Удачи.
Метки:
Previous Entry Поделиться Next Entry

Записи из этого журнала по тегу «chtogdekogda»


Хмммм.. похоже на правду.
Любопытно, откуда этот арифметический жук родом будет?

Это пристальный подбор формулы по известным значениям.

На самом деле чем то похоже на функцию Эйлера..

Сильно!

Если более приземленно, то есть две эмпирических гипотезы, которые очевидны при рассмотрении первых 30-50 ромашек по количеству лепестков всего и закрашенных:
1. Для ромашек, количество лепестков в которых есть простое число, большее 2, число закрашенных лепестков определяется по формуле (n+1)/2. Для для ромашки с 2 лепестками закрашены оба.
2. Для ромашек, количество лепестков к которых есть составное число, число закрашенных лепестков определяется как произведение закрашенных лепестков в маленьких ромашках из простых чисел, на которые раскладывается большая составная ромашка.
Итого, формула расчета количества закрашенных лепестков для произвольной ромашки из N лепестков такова:
M=2^A*П((p(i)+1)/2), где П - произведение, i принимает значения от А+1 до n, A - количество двоек в разложенном на простые числа N, а p - все остальные простые числа в составе N, n - итого простых чисел в составе N.
Это, кстати, частный случай "арифметического жука":)

Как доказать - пока не знаю.

Применяя к сформулированной задаче, получаем:
2018=2*1009 - распилили нашу ромашку на "простые" ромашки, получили 2*((1009+1)/2)=1010 закрашенных лепестков.
Обратным счетом получаем 4034 и 6051. Причем видим, что если в простом составе ромашки есть двойки или тройки, то значит есть и другие ромашки, которые закрасятся таким же количеством лепестков, т.к. ромашка из 2 и ромашка из 3 лепестков закрашиваются всегда двумя лепестками.

Edited at 2017-12-13 06:55 (UTC)

Абс верно, только что коммент рядом оставил.

2^a1 - согласен, доказывается арифметически.
(p+1)/2 - согласен, элементарная математика.
П по простым делителям - согласен, сравнения по модулю над взаимопростыми.

Но почему (1 +/-p +/-p^2 +/-.... +(1 или 0))/2 - на это надо посмотреть внимательнее... когда время будет :( Википедия что-то ничего не подсказывает :)

Функция Эйлера не зря здесь светится, поскольку как-бы сравнения, вычеты и прочее такое. Еще формула Вальтера Стангла есть, если в ней сократить (p+1) для чётных-нечётных, то тоже что-то похожее получается.

Всё, мне пора опять собираться в самолёт.

?

Log in

No account? Create an account