Непростая новогодняя арифметика.

Previous Entry Поделиться Next Entry
12 января, 11:37
e_kaspersky
Свидетельствую: никакие новогодние праздники не устоят перед мощью человеческого серого вещества и тренированной извилины! Давече подкинул вот такую задачку по расставлению математических "знаков препинания" в последовательности чисел 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 чтобы результатом вычислений было число года 2017. Ну, что сказать - все большие молодцы, справились с огоньком и фантазией, и даже глубже британского математического журнала The Guardian :)

И вот какие получились замечательные ответы, а также их авторы, а также кое-что из нерешённого (или решённого недостаточно элегантно), которое всё ещё ждёт своих героев, которых ждут приятные и полезные призы:


--- 10 ---

"Красивые" решения:

10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 5 / (4 - 3 + 2) + 1 = 2017
10 * 9 * 8 * (7 - 6) / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
(10 - 9) + 8 * 7 * (6 - 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
(10 - 9) + 8 * 7 * 6 * (5 - 4) * 3 * 2 * 1 = 2017

От alexey_vanilov:
(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017

"Некрасиво" можно и так (это я за 10 минут придумал сразу) :

((10 + (987) + (6 + 5) * (4 - 3)) * 2) + 1 = 2017

От случайного соседа по офису А.Б. даже с дробями вариант прискакал! Да, признаю, это выход за множество натуральных чисел, но пока всё ещё в пределах рационального пространства:

10 * 9 * 8 * 7 / ((6 * 5) / 4) - 3 - 2) + 1 = 2017

Можно покопаться ещё по сторонам, наверняка варианты есть и их немало.

P.S. Еще два варианта нарисовались :)

10 - (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 - (3 + 2)) - 1))))
(10 - 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 - 3)) + 2 - 1)))


--- 9 ---

Убираем "десятку". Вроде бы это усложнение задачи, но только на первый взгляд. Решения находятся достаточно быстро, за несколько минут:

9 * 8 * 7 * 6 * (5 - 4) / 3 * 2 + 1 = 2017

Что-то ничего красивенького самому больше не придумалось, чего-то не хватает.... А вот это уже компьютер mephistus постарался, нормальный человеческий мозг, даже блоггерский, до такого сам додуматься не сможет:

9 + 8 * ((7 * 6 * (5 - 4) * 3 * 2) - 1) = 2017

Элегантная штучка и снова от alexey_vanilov:

9 * 8 * 7 * (6 - 5 + 4 - 3) * 2 + 1 = 2017

Соседом по офису А.Б. подсказан очередной вариант с дробями:

9 * 8 * 7 * 6 / (((5 + 4) / 3) / 2) + 1 = 2017

А "криво" можно и вот так:

9 * (8 - ((7 - 6) * (5 - 4))) * (32) + 1 = 2017, да.


--- 8 ---

"Восьмёрка" почему-то оказалась даже проще предыдущих:

8 * 7 * 6 * (5 - 4) * 3 * 2 +1 = 2017
8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017

Картинки от mephistus, но он на "железном друге" думал..

8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 - 3) + (2 - 1) = 2017
8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017

"Кривая" арифметика:

(8 - 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017, снова опять.


--- 7 и 6 ---

Для "семёрки" и "шестёрки" уже требуется факториал, без него не получилось:

7 * (6 - 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
6! / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017

Есть ли ещё варианты? - дерзайте.

P.S. Конечно же есть, их не может не есть! Вот, еще от mephistus :

7 - 6 - 5! - 4! + 3 * ((2+1)!)!
7 + (6! - 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
7 - (6 - 5!) * 4! - (3!)! - (2+1)!
7! - 6! / 5 - 4 * (3!)! + 2-1
7! - (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!

6! - 5! - 4! + (3!)! * 2 + 1
(6 + 5!) * 4! / 3 * 2 + 1
(6! / 5 + 4!) * 3! * 2 + 1


--- 5 ---

"Кривое решение", но хоть так :)

/5 * (4 + 3)! * 2 + 1

Нормального решения у меня до сих пор нет!

P.S. Получился нормальный вариант, с квадратным корнем:

((( 5 - √4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.


--- 4 ---

От "Алексей Малютин"

[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017

Где:
"#" - праймориал,
"!!!!" и "!!!!!" - кратные факториалы (мультифакториалы).

Браво! Я о подобных числовых инструментах никогда ранее не слышал. Меня такому в школах не учили...

P.S. А вот что мне на фанклубе подсказали:

((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017
(17-кратный факторал)

1. 4!=1*2*3*4=24
2. 24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3. 3!=6
4. 168*6*2+1=2016+1=2017

Браво! Очень красиво.

Еще с фанклуба:

sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017

1. sf(4)=1!*2!*3!*4!=288 - суперфакториал 4х.
2. 3!=3*2*1=6 - факториал 3х.
3. !2=1 - субфакториал 2х.

--- 3, 2 ---

Для "тройки" и "двойки" решения пока нет, хотя должно быть, поскольку для "единицы" оно нашлось!

P.S. Нашлись решения.


--- 3 ---

Для решения 3 2 1 = 2017 потребуются:

L(n) - числа (последовательность) Леонардо.
!n - субфакториал.
n!! - кратный факториал.

1 + 2 = 3.
L(3) = 5.
5!! = 15.
L(15) = 1973.
!5 = 44.

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = ..... :)


--- 2 ---

Для решения "2 1 = 2017" были использованы:

Числа Фибоначчи F(n),
числа Ферма Fm(n) (вообще-то они обозначаются чуть иначе..)
- и задача сводится к предыдущей! (которая решалась через числа Леонардо L(n) и субфакториал).

F(2) = 1 (хотя можно обойтись и субфакториалом !2=1).
Fm(1) = 3.

2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
L( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = ..... :)

Т.е. как загнать 2 1 в 2017:

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.


--- 1 ---

От "Максим Юрчук":

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg ... ctg arctg sin arcctg 1 , где функция "ctg arctg sin arcctg" повторяется 2017^2 -1 раз.

Кто-нибудь может на нормальном русском языке объяснить физику... вернее, математику происходящего? И проверить верность доказательства? Я - увы, на такое уже давно не очень чтобы способен...

Таким образом, вот такой получился сонм победителей этой "чтогдекогдашки":

Алексей Малютин (за самые красивые решения),
Максим Юрчук (за свободу в поиске решений нерешаемой задачи).
Игорь Черных (за праймориалы, никогда о таком раньше не слышал).

С вами свяжутся для вручения призов.



--- bonus track ---

Ну а теперь, дорогие уважаемые читатели, если вы уже овладели магией извлечения числа "2017" даже из самой простой банальной "единицы", давайте усложним задачу!

Давайте попробуем получить "2017" из "нуля"! Из "минус единицы"! Да чего там стесняться - давайте извлечём магическое 2017 из комплексного "и" (если кто ещё помнит что это такое... это самое "i").

Шутка! Конечно же, я нисколько не собирался тут паясничать. Конечно же, банальные метаморфозы над "нулями-и-минус-единицами" сводят задачу к предыдущей. А давайте придумаем что-то действительно неординарное. Давайте придумаем как в число "2017" превратить, например... постоянную Планка? Или массу электрона в "атомных единицах", или как эта субстанция там правильно называется. Или %% льготу на НДС при торговых экспортных операциях - короче, океан математических иллюзий в современном физико-социально-экономическом пространстве абсолютно безграничен! Дерзайте.

Но сначала надо решить задачки (с использованием доступных математических символов) :

5 4 3 2 1 = 2017
3 2 1 = 2017
2 1 = 2017

И по возможности доказать, что это - самое простое решение. Вернее, что без факториалов, праймориалов и прочих биномов-полиномов решений нет.

Ну что, продолжим развлекаться?

// а на потом у меня еще одна весьма интересная задачка есть! :)

Метки: ,
Previous Entry Поделиться Next Entry

Записи из этого журнала по тегу «chtogdekogda»


Решение Максима Юрчука классное. На мой взгляд, заслуживает отдельного приза.

Могу геометрически показать, что ctg arctg sin arcctg Vx = V(x+1). Без рисунка доступно не изложить.

Помимо мультифакториалов и праймориалов еще честно было бы использовать https://ru.wikipedia.org/wiki/Тетрация. Но лучше способ раскрутиться - это факториалить. Например,
(4!!)! = 8! = 2016*20
(3!)! = 720 = 2016 - 6^4.

Для четверки долго думал, все множители во всех факториалах перебрал, не выходит ничего.

браво, молодцы..
я немного поигрался и через час перебора различных вариантов сдох )) видимо не те подходы применял..
У меня предложение новой задачи эрудитам:
получить 2017 из цифр 2 0 1 7 по тем же условиям, что и ранее..

(Удалённый комментарий)

Решение Максима Юрчука графически

alexey_vanilov

2017-01-12 11:07 (UTC)

Вообще, Максим в своем комментарии уже написал, как доказать решение алгебраически. Но я попытаю счастья графически...



Докажем формулу "ctg arctg sin arcctg Vn = V(n+1)".


На картинке выше это означает, что нам дано, что котангенс угла AOB равен Vn, то есть OB / AB = V(1-x^2) / x = Vn. Надо вычислить котангенс угла COD при условии AB = CD = x. Этот котангенс равен OD/CD = 1/x. Нетрудно показать, что из формулы выше следует, что 1/x = V(n+1). Так как (1 - x^2) / x^2 = n.

Вряд ли стало наглядно. Но в средствах ограничен.

Что притихли, арифметики?
Вот, проверяйте:

( ( ( 5 - √4 )! )!!!! ) !!!!! * ( (3 * 2)!!!! ) + 1 = ...

Какие у вас интересные значечки, доктор!
А у меня там пятерочка с обычным и двойным факториалом ниже, в трех экземплярах сразу, такие дела.

> Для "семёрки" и "шестёрки" уже требуется факториал, без него не получилось:
> Есть ли ещё варианты? - дерзайте.

Все будет, шеф! Главное, дать железному думателю хорошенько прогреться, и результат будет покрасивше чем у всяких там гуманоидов, например, которые все стремятся отнять да поделить (т.е. разложить на множители):

6! - 5! - 4! + (3!)! * 2 + 1
(6 + 5!) * 4! / 3 * 2 + 1
(6! / 5 + 4!) * 3! * 2 + 1

Ну и семерочка подоспела после пары оптимизаций. :)

7 - 6 - 5! - 4! + 3 * ((2+1)!)!
7 + (6! - 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
7 - (6 - 5!) * 4! - (3!)! - (2+1)!
7! - 6! / 5 - 4 * (3!)! + 2-1
7! - (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!

Не счесть числа вариантам для семерки, короче говоря.

И, так уж и быть, по многочисленным просьбам пятерочка с двойным факториалом, лол:

5 * (4!!)!! + (3!)!! * 2 + 1
(5! + (4!!)!!) * (3! - 2) + 1
(5! * 4!! + (3!)!!) * 2 + 1


Edited at 2017-01-13 01:31 (UTC)

Браво! Тем более, что для решения оставшихся вариантов без "железного калькулятора" не обойтись. И, наверное, надо привлекать новые действия над множеством натуральных чисел.

Давайте еще праймориал # прикрутим, набросимся на "четвёрку", а потом вдруг и тройка получится?

Edited at 2017-01-13 05:37 (UTC)

Добрый день!
хотим вручить вам приз, напишите мне на почту sp@kaspersky.com :)

(Удалённый комментарий)
Осталось 3 2 1 и 2 1.
Разрешаю любые известные действия над множеством нарутальных чисел, хоть F(n), где F - число Фибонначи :)

А вот что мне на фанклубе подсказали, https://forum.kasperskyclub.ru/
смотрите, завидуйте!

((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017
(17кратный факторал)

1. 4!=1*2*3*4=24
2. 24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3. 3!=6
4. 168*6*2+1=2016+1=2017

Добрый вечер! Приз получил, спасибо большое :)

Про праймориалы я узнал, когда пытался сжать последовательность простых чисел на интервале 1 - 2^32 :) Их там, кстати, 203 280 221 штука, последнее -- 4 294 967 291 :) Если сохранять в файл просто DWORD'ами, получается ~800 МБ.

Навела на мысль школьная олимпиадная задача: доказать, что все простые числа (кроме 2 и 3) -- это числа вида 6k ± 1.

Доказательство очень простое:
6k + 0 -- составное
6k + 1 -- ?
6k + 2 -- составное
6k + 3 -- составное
6k + 4 -- составное
6k + 5 -- ?

Можно еще так сказать: если выписать все натуральные числа в виде таблицы из 6 столбцов, то все простые, кроме 2 и 3, будут располагаться только во 2-м и 6-м столбцах.

2 * 3 = 6. Из всех возможных остатков от деления на 6 отбрасываем 0 и те остатки, которые делятся на 2 и на 3. Остаются 1 и 5. Если число при делении на 6 дает остаток 1 или 5, то оно, возможно, простое. Все прочие -- заведомо составные. Можно пойти дальше: 2 * 3 * 5 = 30; простые числа -- это те, которые при делении на 30 дают остаток 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 или 29. Остатков 8. Если сохранять в файл по 8 битов для каждых 30 натуральных чисел из интервала 1 - 2^32 (по биту на каждый из перечисленных остатков; 1 -- действительно простое, 0 -- все-таки составное), то файл получится размером Ceil(2^32 / 30) = 143 165 577 байтов. Идея была такая.

P.S. 2027-й год должен быть еще проще, потому что это простое число №307, а 307 -- само по себе простое (№63).

Update.
3 2 1 = 2017
решается через числа Леонардо и субфакториал :)

Осталось только найти решение для
2 1 = 2017 :))

Edited at 2017-01-13 16:07 (UTC)

3 2 1 = решение найдено.
через числа Леонардо и субфакториал.

Ну, кто осмелится потрогать -

2 1 = 2017

Неужели смельчаков нет, все сгинули или заныкались в пространствах ненатуральных множеств? Жаль... или стыдно?

(Удалённый комментарий)
Для решения 3 2 1 = 2017 потребуются:

L(n) - числа (последовательность) Леонардо.
!n - субфакториал.
n!! - кратный факториал.

Так, смотрим на данные: 3 2 1.

1 + 2 =3.
L(3) = 5.
5!! = 15.
L(15) = 1973.
!5 = 44.

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = ..... :)

Так, а для решения "2 1 = 2017" были использованы:

Числа Фибоначчи F(n),
числа Ферма Fm(n) (вообще-то они обозначаются чуть иначе..)
- и задача сводится к предыдущей! (которая решалась через числа Леонардо L(n) и субфакториал).

F(2) = 1.
Fm(1) = 3.

2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
L( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = ..... :)

Т.е. как загнать 2 1 в 2017:

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017. (c) я.

Всё.
Всем спать.

>>> Fm(1) = 3
Fm(n) -- это n-ное по счету число Ферма, если считать, начиная с 1? :)
Потому что все-таки 2^(2^0) + 1 = 3, а 2^(2^1) + 1 = 5. Мне кажется, что Fm(1) = 5.

Но! Это соображение только упрощает дело!
L( [L(L(2))]!! ) + !(Fm(1))

L(2) = 3
L(L(2)) = L(3) = 5
Fm(1) = 5

Или даже так:
L([Fm(!2)]!!) + !(Fm(1))

... ну и "321" тогда будет
L( [Fm(3 - 2)]!! ) + !(Fm(1))

Edited at 2017-01-18 17:44 (UTC)

Мерсенна... да, тоже можно.
Но мы это всё порешали в прошлую пятницу вечером, а не в понедельник следующей недели! (вот, которой сейчас).

Давайте Мерсенна и прочие изыски прибережём для последующего Нового Года, вот там - уверяю! - повупражняться будет достаточно усилий приложить надо. Пока просто работаем, никого не пугаем. Договорились?

Расчудесненько... ;)
Классные задачки Вы загадываете-то тут, и классные решения предлагаются.
Браво, всем!

?

Log in

No account? Create an account