Простая новогодняя арифметика.

Previous Entry Поделиться Next Entry
10 января, 17:48
e_kaspersky
Как многим уже известно, число 2017 является "простым", т.е. делится без остатка только на себя и на единицу (подробнее про "простые числа" клик сюда). Вообще-то, теория простых чисел это увлекательнейшее занятие большой практической полезности, это вам любой криптограф скажет.



Но я сегодня про другое. Так вот, основываясь на факте "простоты" числа 2017, многие (включая меня) предвещают спокойный и простой этот 2017-й год. Особенно на фоне "нехорошего" 2016-го, что частично есть математическая истина.

"Простые числа" делятся только на единицу и на себя. Прочие числа (которые "не простые") называются "составными", но для красоты повествования буду их называть просто "непростыми" (извините за каламбур). Так вот, число 2016 не просто "непростое", оно запредельно непростое! У него целых 8 делителей, вот, возьмите калькулятор и убедитесь сами:

                2016 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7

О как! Даже количество делителей у него очень непростое число, поскольку 8 = 2 * 2 * 2.

А что же с другими годами? Был ли простым год 1917й сто лет назад?



Нет, не был. 1917 = 3 * 3 * 3 * 71. Делителей всего 4, но какие-то они острые и ничего хорошего не предвещающие. А что там еще с самыми простыми и абсолютно непростыми годами, например, начиная с 1980-го?

Простые годы: 1987 (хотя для умирающего СССР это было весьма непростое время..), а также: 1993, 1997, 1999, 2003 и 2011. В ближайшем будущем нас ждут простые годы 2027 и 2029, а до тех пор надо будет потерпеть.

Самыми непростыми годами были:

                1984 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 31  (7 делителей)
                2000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5   (тоже 7)

По 6 делителей было у года 1980 и будет в 2025м. Остальное можно смело называть "непросто, но и не слишком сложно".

Но я не об этом. В популярном британском математическом журнале :) The Guardian читателям предложили забавную мозгодробительную задачку. В последовательности чисел 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 надо расставить арифметику плюс-минус-умножить-разделить-скобки так, чтобы результатом вычислений был номер года 2017.



Например, если арифметические знаки расставить вот так, то результат будет:

                10 * 9 * (8 + 7 - 6) * (5 - 4) + 3 * 2 + 1 = 817

А как расставить плюсы-минусы-умножить-разделить-скобки так, чтобы:

                10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017

Дерзайте. У меня за 9 минут получилось "кривое решение" с объединением цифр скобками вроде (3 2) это 32. "Красивое" решение, где "10" и все прочие цифры сами по себе, сложилось где-то за 15-20 минут. Кстати, учтите, что есть разные варианты решения этой задачки! Можно немного иначе переставить скобки и плюсы-минусы, а ответ будет тот же - 2017.

Ну что, попробовали? Теперь можно усложнить задание. Убираем десятку. Как расставить "арифметические знаки препинания" так, чтобы:

                9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017

Решение этого уравнения у меня сложилось за пару минут. Едем дальше? Давайте. Вот вам, еще три минуты и разрешилась вот такая мозговая задачка:

                8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017

Дальше оказалось немного сложнее. Для решения

                7  6  5  4  3  2  1 = 2017
и
                6  5  4  3  2  1 = 2017

мне уже пришлось добавить знак факториал.

Итак, еще раз список умственных арифметических упражнений на сегодняшний вечер:

Используя +, -, *, / и скобки получить ответ 2017:
                10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017
                9  8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017
                8  7  6  5  4  3  2  1 = 2017

Плюс добавляя "факториал":
                7  6  5  4  3  2  1 = 2017
                6  5  4  3  2  1 = 2017

А вот кто сможет от 5-ки станцевать - с меня пожизненная лицензия :)

Удачи извилинам!!

P.S. Ааааа! Апдейт! "54321" я тоже решил с факториалами. Немного криво, но по смыслу всё правильно. Так что для пожизненного ключа надо копать от четвёрки :)



Previous Entry Поделиться Next Entry

Записи из этого журнала по тегу «chtogdekogda»


А за решение первого примера от 10 какой приз будет?

был бы в инсте еще, написал бы программку, где переменные между 4a3b2c1 могут принимать значения последовательно из ряда +-/() и т.д. и далее перебором до равенства.
Интересно, сколько недель считалось бы :)

Так я на это и намекаю!
Только там надо еще добавить ! (факториал) и, наверное, возведение в степень :)

(4*2)'!3' * (3!) + 1 = 2017

'!3' - неполный факториал, три числа: т.е. 8 '!3' = 8*7*6

Edited at 2017-01-10 21:04 (UTC)

Т.е. для "54321" будет: (4*2)! / 5! * 3! + 1

2016 = 8! / 20 = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8) / (4 * 5)

2016 = 7! * 8 / 20 = 2 * 7! / 5
2017 = 1 + 2 * (3 + 4)! / 5

Edited at 2017-01-11 06:47 (UTC)

2017 в двоичном коде: 11111100001
2*3 единиц, потом 4 нуля, потом 1 единица :)

MOV EAX, 3
NOT AL
SHL EAX, 4
ADD EAX, 2
SHR EAX, 1

:))

Edited at 2017-01-11 04:38 (UTC)

Т.е. 2017 не только простой год, но и двоично (бинарно) красивый?

Ну что, правильные ответы показать - или еще помучаетесь?
Или еще не все из новогоднего астрала вышли?

Вот только в журнале "Наука и жизнь" это был традиционный конкурс каждый год.

Это я пропустил... Хотя идея интересная - каждый год раскладывать на подобные формулы.

Единственное, что получилось (на бумажке) с "4321", использует двойные факториалы, праймориалы, но все равно два раза повторяется тройка.

n!! -- произведение чисел, такой же как у n четности. 4!! = 2 * 4 = 8.
n# -- произведение простых чисел, не превосходящих n. 8# = 2 * 3 * 5 * 7.

(4!!)# * (3!)!! / (3 + 2) + 1 = 8# * 6!! / 5 + 1 = (2 * 3 * 5 * 7) * (2 * 4 * 6) / 5 + 1 = 2 * 7! + 1 = 2017.

А праймориалы -- это уже, пожалуй, нечестно :)

Edited at 2017-01-11 08:34 (UTC)

(4!!)# * (3!)!! / (3 + 2) + 1

<- мне одному кажется, что тройка здесь два раза повторяется?

Очень интересный пост! Скажите, пожалуйста, не могли бы вы рассчитать по дате рождения 26.11.1991 г. насколько сложным будет 2017 год?

Наверное, это лучше к астрологам (но там еще точное время рождения надо указать). Здесь же просто арифметика простых и составных чисел.

еще игры такие есть

alexey_vanilov

2017-01-11 11:52 (UTC)

Полчаса на десятку (-10+9+8 + 7*(6+5))*4*3*2 + 1. Остальное дома подумаю. Но прикольно.

Есть похожая игра для мобильника: tchisla (https://itunes.apple.com/ru/app/tchisla-cislodrobitel-naa/id1100623105?mt=8). Там задачки, например, представить цифру 6 только из восьмерок (6 = 8 – 8/8 – 8/8), но используя всего 3 восьмерки.
Или представить 2016 только из четверок (2016 = 444*4 + 4! * (4+4+V4). Чем меньше цифр, чем больше баллов.

Но мне гораздо больше нравится Euclidia (https://itunes.apple.com/us/app/euclidea-geometric-construction/id927914361?mt=8, есть под Android). С помощью циркуля и линейки вписать квадрат в круг и т.п. Есть тривиальные с виду, но очень сложные (типа построить касательную к кругу в точке всего за три действия), а есть разминочные (вписать круг в квадрат).


Re: еще игры такие есть

mephistus

2017-01-11 21:33 (UTC)

В Euclidia Pro, поди, можно эксклюзивно строить квадратуру круга и трисекцию угла, лол.

С девяткой решается за минуту. Удачные числа кругом:
9*8*7* (6-5+4-3) * 2 + 1

[{(4#)!}!!!!]!!!!!*[(3*2)!!!!]+1=2017
---
с использованием кратного факториала.

Re: Answer for 4321.

e_kaspersky

2017-01-11 16:00 (UTC)

Ой... я такого в школах не изучал. Можно пояснить спец-сивмолы и как оно всё раскладывается?

Можно используя только 1.

Ответ:
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg ... ctg arctg sin arcctg 1 , где функция ctg arctg sin arcctg повторяется 2017^2 -1 раз.

Решение:
Заметим, что sin t = 1/sqrt(1+ ctg^2(t)), преобразуем две самые правые функции, получим:
sin arcctg s = 1/sqrt(1 + s^2)

Воспользовавшись равенством ctg arctg (s) = 1/s получаем:
ctg arctg sin arcctg s = sqrt(1 + s^2)

Применяя аналогичные рассуждения получим, что применяя эти четыре функции дважды получим
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2)

Далее можно доказать по индукции, что
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)
где ctg arctg sin arcctg повторяются n раз.

Подставим на место s единицу, получаем:
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)
где ctg arctg sin arcctg повторяются n раз.

Повторим эти четыре функции 2017^2-1 раз (т.е. n = 2017^2-1), получим выражение которое равно
sqrt(2017^2-1 + 1^2) = sqrt(2017^2) = 2017.

Достоверность при маленьких n можно проверить, например в Wolfram Alpha.

Значит вот это вот все от (-4+3+2)*1. Кажется задача решена :)

(Удалённый комментарий)
(Удалённый комментарий)
(Удалённый комментарий)
Очень круто... Осталось решить задачу самым простым образом для комбинаций:

5 4 3 2 1
3 2 1
2 1

:)

UPD: и доказать, что это самое простое решение; что без этих праймориалов и мультифакториалов решения нет. Доказать можно просто перебором вариантов, для этого калькуляторы и скрипт-языки есть :)

Edited at 2017-01-11 21:11 (UTC)

> Доказать можно просто перебором вариантов, для этого калькуляторы и скрипт-языки есть :)

Дарю мои вчерашние потуги. Там, правда, явно некритичный затык с \=, и, по-моему, багнутая constraint logic programming в самом SWI Prolog. По идее, все это нужно переписать для нормального коммерческого SICStus Prolog, но — семья, дети, несмотренный Шерлок, опять же…

:- use_module(library(lists)).
:- use_module(library(clpfd)).

res([X], X, X).
res(L, X, R) :-
  comb(X1, X, R1, R),
  res(L, X1, R1).
res(L, X, R) :-
  L1 = [_|_],
  L2 = [_|_],
  append(L1, L2, L),
  res(L1, X1, R1),
  res(L2, X2, R2),
  comb(X1, X2, X, R1, R2, R).

comb(X1, X2, X, R1, R2, (R1+R2)) :-
  X #= X1+X2.
comb(X1, X2, X, R1, R2, (R1-R2)) :-
  X #= X1-X2.
comb(X1, X2, X, R1, R2, (R1*R2)) :-
  X #= X1*X2.
comb(X1, X2, X, R1, R2, (R1/R2)) :-
  X2 #\= 0, X*X2 #= X1.
comb(X1, X2, X, R1, R2, (R1^R2)) :-
  X1 #\= 0,
  X2 #>= 0,
  X2 #=< 5,
  X #= X1^X2.

comb(X1, X, R, -(R)) :-
  X #= -X1,
  R \= -(_).

comb(0, 1, R, f(R)).
comb(X1, X, R, f(R)) :-
  X1 #> 2,
  X1 #< 9,
  fact(X1, X).
  R \= f(f(_)).

fact(0, 1).
fact(N, F) :-
  N #> 0,
  N1 #= N - 1,
  F #= N * F1,
  F #\= 0,
  fact(N1, F1).


Edited at 2017-01-11 21:47 (UTC)

(Удалённый комментарий)
?

Log in

No account? Create an account